자기장은 왜 생길까요?

전류가 흐를 때 자기장이 발생한다고 초등학교 물리시간에 배웠지요. 그런데, 조금 깊게 생각해 보면, 도선에는 같은 갯수의 양전하와 음전하가 들어 있어서 서로의 전기장을 상쇄시켜요. 그렇지만, 여전히 미지의 힘이 남아서 움직이는 전하에 힘을 가해줍니다. 이 미지의 힘의 원천은 전기장이 아니므로 자기장이라고 불렀어요. 과학자들은 이 미지의 힘이 전류에 의해 발생한다는 것은 알았지만 왜 전류가 새로운 힘을 만들어 내는지는 알지 못했어요. 그런데, 마침내 약 100년전 물리학계의 수퍼스타, 아인슈타인이 나타나 자기장이라는 것은 실제로 전기장의 일부라는 것을 밝혀냈어요. 그 비밀은 속도에 따라 변하는 시간과 공간입니다. 시간와 공간이 속도에 따라 변한다니요????

누가 감히 시간과 공간이 나의 속도에 맞추어 변할 것이라고 생각이나 했을까요? 수 천년간 자기장의 비밀을 알아낼 수 없었던 것도 무리가 아니에요.

이 이론이 아인슈타인의 특수상대성인데 정확한 수학적 증명은 다른 곳에서 자세히 설명하기로 하고 여기서는 길이수축에 대해서만 간단하게 알면 돼요. 

"길이수축: 움직이는 물체는 움직이는 방향으로 공간(길이)이 수축된다." 

공간이 수축되므로 공간안에 들어있는 모든 물체의 길이도 물체의 속도의 방향으로 줄어듭니다.

이제 위 질문에 하나씩 대답해 보기로 하죠.

아래그림 Fig1을 보세요.

우선 계산을 간단히 하기 위해, 도선에 일정한 갯수의 양전하가 위쪽 방향($+x$ 방향)으로 흐르고, 같은 갯수의 음전하가 아래 방향($-x$ 방향)으로 흐른다고 가정해요. (실제 도선에서는 양전하는 고정되어 움직이지 않아요)

또한, 전하 $q$ 의 속도가 0 이라고 가정하고 이 전하가 도선에 의해 받는 힘을 구해보아요. Fig2 를 보세요.

도선내에 같은 갯수의 양의 전하와 음의 전하가 있으므로 전기장의 세기가 같고 방향은 반대가 되어 전체 전기장은 0이 되죠. 쿨롱의 법칙에서 $F=qE$ 이므로 힘 $F$ 도 0 이 되요.

그러면 이제 전하 $q$가 $+x$ 방향으로 속도 $v_x$ 로 움직이면 이 전하가 받는 힘은 어떻게 될까요?  Fig3 를 보세요.

이 문제를 풀때 우리는 자기장을 전혀 사용하지 않고 전기장과 길이수축만 사용할 거에요.

문제의 핵심은 전하 $q$가 받는 힘을 계산하기 위해 우리가 전하 $q$와 같은 속도로 움직여야 한다는 거에요. 마치 우리가 전하 $q$위에 올라타서 함께 움직이며 $q$ 가 받는 힘을 우리도 같이 받는 거죠. 이것을 특수상대성원리에서는 "전하 $q$ 가 정지된 시공간좌표축(frame)으로 좌표변환한다" 라고 말해요. 복잡하게 말하는 것 같지만 그 의미는 위에서 말한 것처럼 전하 $q$와 같은 속도로 움직인다는 뜻으로 아주 단순해요. 참고로 길이 수축은 시공간좌표변환의 결과에요.

우선 전하 $q$가 $v_x$의 속도로 움직이고 있으니 우리도 $v_x$의 속도로 같이 움직인다고 가정해요. 그러면 $q$는 우리에게 정지한 상태로 보이죠. 그런데 도체내의 양전하는 $\beta_x$의 속도로 움직이고 있었는데 우리도 같은 방향으로 움직이고 있으니 도선속의 양전하는 $\beta_x$ 보다 느리게 움직여요. 정확히는 $\frac{\beta_x-v_x}{1-\beta_x v_x} $로 줄어드는데 구체적인 식은 지금은 알 필요가 없어요. 양전하의 속도가 줄어드니까 길이수축의 효과가 줄어들고 수축되었던 길이가 늘어나요. 전하밀도는 $\frac{전하량}{부피}$ 이고 부피는 $\Delta x \Delta y \Delta z$ 인데 $\Delta x $ 가 증가하니 부피도 증가하고 전하밀도는 감소하죠. 양전하의 밀도가 감소하니 양전하에 의한 전기장의 세기도 줄어들고 힘 $F$도 감소해요. 참고로 전기장의 세기는 전하밀도에 비례해요.

두번째로, 도선내 음전하의 속도 $\beta_x$는 $-x$방향이고 우리는 $+x$방향으로 움직이니까 우리가 도선속 음전하를 바라보면 음전하의 속도는 $-x$방향으로 더 증가해요. 정확히는 $\frac{\beta_x+v_x}{1+\beta_x v_x} $로 증가하는데 구체적인 식은 역시 지금은 알 필요가 없어요. 중요한 것은 전하 $q$ 에서 바라본 음전하의 속력이 증가한 것이에요. 그러니, 음전하의 길이가 더 수축해서 음전하의 밀도는 증가하고 음전하에 의한 전기장 $E^-_y$도 증가해요. 그러므로, 음전하가 $q$에 작용하는 힘 $F^-$도 증가해요. 

그래서 결론은 속도 $v_s$로 움직이는 전하$q$에 작용하는 도선내 양전하에 의한 전기장 $E^+_{yq}$은 $+y$방향인데 그 크기가 감소하고, 도선내 음전하에 의한 전기장 $E^-_{yq}$은 $-y$ 방향인데 그 크기가 증가하기 때문에 이 두개의 전기장은 서로 상쇄되지 않아요. 전하 $q$가 받는 힘 $F_q = q(E^-_{yq} - E^+_{yq})$ 이기 때문에 이 힘도 역시 0 이 아닌 값이 돼요.

우리가 처음 도선내 같은 양의 양전하와 음전하 때문에 전기장이 0 이 되는 것을 알았어요. 그런데 우리는 $v_x$의 속도로 움직이는 전하 $q$ 에 작용하는 전기장을 구해야 하는데 양전하와 음전하의 길이수축이 다르게 일어나므로 이 전기장이 0 이 되지 않아요. 이렇게 상쇄되지 않은 전기장을 자기장이라고 불러왔던 것이에요. 

이제 자기장의 진짜 의미는 시공간의 좌표변환에의한 전기장의 차이임을 알게 되었나요?

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